如何打赢庄家?数学家的分析

September 5, 2012

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摘自《数学文化》2012年第三期《书评:打赢庄家》 媒体热衷的新闻一般都与政界要人或电影明星有关,很少与数学或数学家挂边。最近却出了个例外,数学家进了媒体的眼界。报道说澳大利亚 19 名数学家组成“高智商”赌博集团,利用专业知识,在各国赌场和博彩业 疯狂赌博。短短 3 年,总计赢取了超 24 亿澳元(约 156亿人民币)。不久前,他们在赌场上的成功引起澳税务局关注,这一赌博集团才被曝光。后来的调查发现,这个赌博集团其实不是真正用到数学或统计,大部分盈利都是钻一些规则的空子,搞偷税漏税的勾当。 真正利用数学统计原理去赌博的事情在美国发生过。麻省理工有一帮学生就干过这事。后来还有人把他们的事迹写成书,拍成了电影。我曾经写过关于这本书的一个书评,可以帮助大家了解数学家如何在赌场发挥他们的优势,现在读起来也不算过时。当初写的时候读者对象是海外华人,数学统计不能太过专业,现在把它投到《数学文化》,可以加上一些数学和统计的东西,作为附录放在文章后面。 请浏览《数学文化》阅读更多本文的精彩内容。 欢迎订阅《数学文化》。 Advertisements

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数学中竟然还有这样的定理!

July 20, 2012

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定理:喝醉的酒鬼总能找到回家的路,喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。 定理:把一张当地地图平铺到地上,则总能在地图上找到一点,这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。 定理:你永远不能理顺椰子上的毛。 想知道这些定理为什么成立吗?想知道更多有趣的定理吗?欢迎阅读《数学文化》第二卷第四期中的精彩文章“数学中竟然还有这样的定理!”。

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素数那些事儿

June 13, 2012

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引子 近几年开设《初等数论》课程,我总是要抽出一定的时间专门给学生科普一下关于素数的故事。这篇科普文章正是基于这些讲稿整理出来的。 素数是整个数论的灵魂。然而多数学生对素数的了解非常少。很多人不明白:为什么我们要研究素数?素数如何与众不同? 素数到底有趣在哪里? 素数对数学很重要吗?……如果学生在上完一个学期的数论课后, 却仍然对素数茫然无知,那无疑是一种讽刺——这就好比你看完一场戏,不知道主角做了些什么。 写这篇文章的另一目的也是为了给那些依然执着于证明哥德巴赫猜想的民科们做一次扫盲的尝试——尽管他们中的大多数会继续执着下去。然而我们不得不承认这样一个现实: 民科们对素数的热情与执着确实远远超过很多数学系的本科生——这多少会让我们这些老师感到沮丧。 阅读本文,请浏览《数学文化》第3卷第1期。访问《数学文化》杂志,阅读更多精彩文章。

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如何网上学数学?

June 5, 2012

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近年来国内公众在网上学习大学公开课形成热潮。作者一直留意网上的数学视频资源,直到去年,大学的数学课程还不齐全,今年突然发现数学视频资源增加很快,已经形成比较齐全的大学数学视频课程体系,而且课程数量还在迅速的增加。这些课程大都是免费开放,只要能上网,任何人都可随时随地学习。对于数学爱好者来说,这在以前还是很难想象的事。作者对网络上的数学视频资源进行了搜索和整理,写成此文。希望把网络上这些丰富的数学视频推荐给对数学有兴趣的校外数学自学者,期望对数学文化的传播和数学知识的普及有所帮助。文中的数学文化传播思想来源于刘建亚教授。有关数学教育的思想也深受《数学文化》杂志的启发。张英伯教授的《发达国家数学英才教育的启示》一文及王元、丁玖教授对人才培养的文章,令人耳目一新,引来很多回味和沉思。这些思想在国内的刊物上还不多见,通过《数学文化》的传播,这些先进的教育理念一定能在国内数学教育领域开花结果。 欢迎阅读《数学文化》第三卷第一期的文章《网上学数学》,了解更多关于网络上的数学资源。欢迎访问《数学文化》网站了解更多精彩内容。

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《思考的乐趣:matrix67数学笔记》序二

June 3, 2012

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序作者为中国科学院张景中院士。 我本不想写这个序。因为知道多数人看书不爱看序言。特别是像本书这样有趣的书,看了目录就被吊起了胃口,性急的读者肯定会直奔那最吸引眼球的章节,哪还有耐心看你的序言? 话虽如此,我还是答应了作者,同意写这个序。一个中文系的青年学生如此喜欢数学,居然写起数学科普来,而且写得如此投入又如此精彩,使我无法拒绝。 书从日常生活说起,一开始就讲概率论教你如何说谎。接下来谈到失物、物价、健康、公平、密码还有中文分词,原来这么多问题都与数学有关!但有关的数学内容,理解起来好像并不是很容易。一个消费税的问题,又是图表曲线,又是均衡价格,立刻有了高深模样。说到最后,道理很浅显:向消费者收税,消费意愿减少,商人的利润也就减少;向商人收税,成本上涨,消费者也就要多出钱。数学就是这样,无论什么都能插进去说说,而且千方百计把事情说个明白,力求返璞归真。 如果你对生活中这些事无所谓,就从第二部分开始看吧。这里有“让你立刻爱上数学的8个算术游戏”。作者口气好大,区区5页文字,能让人立刻爱上数学?你看下去,就知道作者没有骗你。这些算术游戏做起来十分简单却又有趣,背后的奥秘又好像深不可测。8个游戏中有6个与数的十进制有关,这给了你思考的空间和当一回数学家的机会。不妨想想做做,换成二进制或八进制,这些游戏又会如何?如果这几个游戏勾起了探究数字奥秘的兴趣,那就接着往下看,后面是一大串折磨人的长期没有解决的数学之谜。问题说起来很浅显明白,学过算术就懂,可就是难以回答。到底有多难,谁也不知道。也许明天就有人想到了一个巧妙的解答,这个人可能就是你;也许一万年仍然是个悬案。 但是这一部分的主题不是数学之难,而是数学之美。这是数学文化中常说常新的话题,大家从各自不同的角度欣赏数学之美。陈省身出资两万设计出版了《数学之美》挂历,十二幅画中有一张是分形,是唯一在本书这一部分中出现的主题。这应了作者的说法:“讲数学之美,分形图形是不可不讲的。”喜爱分形图的读者不妨到网上搜索一下,在图片库里有丰富的彩色分形图。一边读着本书,一边欣赏神秘而惊人美丽的艺术作品,从理性和感性两方面享受思考和观察的乐趣吧。此外,书里还有不常见的信息,例如三角形居然有5000多颗心,我是第一次知道。看了这一章,马上到网上看有关的网站,确实是开了眼界。 作者接下来介绍几何。几何内容太丰富了,作者着重讲了几何作图。从经典的尺规作图、有趣的单规作图,到疯狂的生锈圆规作图、意外有效的火柴杆作图,再到功能特强的折纸作图和现代化机械化的连杆作图,在几何世界里我们做了一次心旷神怡的旅游。 原来小时候玩过的折纸剪纸,都能够进入数学的大雅之堂了!最近看到《数学文化》月刊上有篇文章,说折纸技术可以用来解决有关太阳能飞船、轮胎、血管支架等工业设计中的许多实际问题,真是不可思议。 学习数学的过程中,会体验到三种感觉。 一种是思想解放的感觉。从小学里学习加减乘除开始,就不断地突破清规戒律。两个整数相除可能除不尽,引进分数就除尽了;两个数相减可能不够减,引进负数就能够相减了;负数不能开平方,引进虚数就开出来了。很多现象是不确定的,引进概率就有规律了。浏览本书过程中,心底常常升起数学无禁区的感觉。说谎问题,定价问题,语文句子分析问题,都可以成为数学问题;摆火柴杆,折纸,剪拼,皆可成为严谨的学术。好像在数学里没有什么问题不能讨论,在世界上没有什么事情不能提炼出数学。 一种是智慧和力量增长的感觉。小学里使人焦头烂额的四则应用题,一旦学会方程,做起来轻松愉快,摧枯拉朽地就解决了。曾经使许多饱学之士百思不解的曲线切线或面积计算问题,一旦学了微积分,即使让普通人做起来也是小菜一碟。有时仅仅读一个小时甚至十几分钟,就能感受到自己智慧和力量的增长。十几分钟之前还是一头雾水,十几分钟之后豁然开朗。读本书的第4部分时,这种智慧和力量增长的感觉特别明显。作者把精心选择的巧妙的数学证明,一个接一个地抛出来,让读者反复体验智慧和力量增长的感觉。这里有小题目也有大题目,不管是大题还是小题,解法常能令人拍案叫绝。在解答一个小问题之前作者说:“看了这个证明后,你一定会觉得自己笨死了。”能感到自己之前笨,当然是因为智慧增长了! 一种是心灵震撼的感觉。小时候读到棋盘格上放大米的数学故事,就感到震撼,原来264-1是这样大的数!在细细阅读本书第5部分时,读者可能一次一次地被数学思维的深远宏伟所震撼。一个看似简单的数字染色问题,推理中运用的数字远远超过佛经里的“恒河沙数”,以至于数字仅仅是数字而无实际意义!接下去,数学家考虑的“所有的命题”和“所有的算法”就不再是有穷个对象。而对于无穷多的对象,数学家依然从容地处理之,该是什么就是什么。自然数已经是无穷多了,有没有更大的无穷?开始总会想到有理数更多。但错了,数学的推理很快证明,密密麻麻的有理数不过和自然数一样多。有理数都是整系数一次方程的根,也许加上整系数2次方程的根,整系数3次方程的根等等,也就是所谓代数数就会比自然数多了吧?这里有大量的无理数呢!结果又错了。代数数看似声势浩大,仍不过和自然数一样多。这时会想所有的无穷都一样多吧,这次又错了。简单而巧妙的数学推理得到很多人至今不肯接受的结论:实数比自然数多!这是伟大的德国数学家康托的代表性成果。 说这个结论很多人至今不肯接受是有事实根据的。科学出版社去年出了一本书名为《统一无穷理论》,该书作者主张无穷只有一个。作者不赞成实数比自然数多,希望建立新的关于无穷的理论,他的努力受到一些研究数理哲学的学者的支持,可惜目前还不能自圆其说。我不知道有哪位数学家支持“统一无穷理论”,但反对“实数比自然数多”的数学家历史上是有过的。康托的老师克罗内克激烈地反对康托的理论,以致康托得了终身不愈的精神病。另一位大数学家布劳威尔发展了构造性数学,这种数学中不承认无穷集合,只承认可构造的数学对象。只承认构造性的证明而不承认排中律,也就不承认反证法。而康托证明“实数比自然数多”用的就是反证法。尽管绝大多数的数学家不肯放弃无穷集合概念,也不肯放弃排中律,但布劳威尔的构造性数学也被承认是一个数学分支,并在计算机科学中发挥重要作用。 平心而论,在现实世界确实没有无穷。既没有无穷大也没有无穷小。无穷大和无穷小都是人们智慧的创造物。有了无穷的概念,数学家能够更方便地解决或描述仅仅涉及有穷的问题。数学能够思考无穷,而且能够得出一系列令人信服的结论,这是人类精神的胜利。但是,对无穷的思考、描述和推理,归根结底只能通过语言和文字符号来进行。也就是说,我们关于无穷的思考,归根结底是有穷个符号排列组合所表达出来的规律。这样看,构造数学即使不承认无穷,也仍然能够研究有关无穷的文字符号,也就能够研究有关无穷的理论。因为有关无穷的理论表达为文字符号之后,也就成为有穷的可构造的对象了。 话说远了,回到本书。本书一大特色,是力图把道理说明白。作者总是用自己的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉,在关键之处还不忘给出饱含激情的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考。不少数学科普,甚至国外有些大家的作品,说到较为复杂深刻的数学成果,常常不肯花力气讲清楚其中的道理,可能认为讲了读者也不会看,是费力不讨好。本书讲了不少相当深刻的数学工作,其推理过程有时曲折迂回,作者总是不畏艰难,一板一眼地力图说清楚,认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使本书能够成为不少读者案头床边的常备读物,有空看看,常能有新的思考,有更深的理解和收获。 信笔写来,已经有好几页了。即使读者有兴趣看序言,也该去看书中更有趣的内容并启动思考了吧。就此打住。祝愿作者精益求精,根据读者反映和自己的思考发展不断丰富改进本书;更希望早日有新作问世。 2012年4月29日

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《思考的乐趣:matrix67数学笔记》序一

June 3, 2012

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序作者为香港浸会大学数学系汤涛教授。汤涛教授是《数学文化》期刊的联合主编。 欣闻《思考的乐趣:Matrix67 数学笔记》即将出版,应作者北大中文系的数学侠客顾森的要求写个序。我非常荣幸也非常高兴做这个命题作业。记得几个月前和人民邮电出版社图灵新知丛书的编辑朋友们相聚北大资源楼,并与顾森校友喝茶谈此书的出版,还谈到书名等细节。没想到图灵的朋友出手如此之快,策划如此到位。在此也表示敬意。我本人也是图灵丛书的粉丝,看过他们好几本书,比如《数学万花筒》、《数学那些事儿》、《历史上最伟大的10 个方程》等,都是很不错的书。 我和作者顾森同学虽然只有一面之缘,但我好几年前就知道并关注他的博客了。他的博客内容丰富、有趣,有很多独到之处。诚如一篇关于他的报道所说,在百度和谷歌的搜索框里输入“matrix”,搜索提示栏里排在第一位的并不是那部英文名为“Matrix”中文名为《黑客帝国》的著名电影,而是一个名为“Matrix67”的个人博客。自2005 年6 月建立以来,这个博客始终保持更新,如今已有了近千篇博文。在果壳科技的网站里(这也是一个我喜欢看的网站),他的自我介绍也很有意思:“数学宅,能背到圆周率小数点后50 位,会证明圆周率是无理数,理解欧拉公式的意义,知道四维立方体是由8 个三维立方体组成的,能够把直线上的点和平面上的点一一对应起来。认为生活中的数学无处不在,无时不影响着我们的生活。” 据说,顾森进入北大中文系纯属误打误撞。2006年,还在念高二的他代表重庆八中参加了第23 届中国青少年信息学竞赛并拿到银牌,获得了保送北大的机会。选专业时,招生老师傻了眼:他竟然是个文科生。为了专业对口,顾森被送入了中文系,学习应用语言学。虽然身在文科,他却始终明恋着数学。在他看来,数学似乎无所不能。对于用数学来解释生活,他持有一种近乎偏执的狂热——在他的博客上,油画、可乐罐、选举制度、打出租车,甚至和女朋友在公园约会,都能与数学建立起看似不可思议却又合情合理的联系。这些题目,也在他这本新书里充分体现出来。 近代有很多数学普及家,他们不只对数学有着较深刻的理解,更重要的是对数学有着一种与生俱来的挚爱。他们的努力搭起了数学圈外人和数学圈内事的桥梁。这里最值得称颂的是马丁• 嘉德纳,他是公认的趣味数学大师。他为《科学美国人》 杂志写趣味数学专栏,一写就是二十多年,同时还写了几十本这方面的书。这些书和专栏影响了好几代人。在美国受过高等教育的人(尤其是搞自然科学的),绝大多数都知道他的大名。许多大数学家、科学家都说过他们是读着嘉德纳的专栏走向自己现有专业的。他的许多书被译成各种文字,影响力遍及全世界。有人甚至说他是上世纪后半叶在全世界范围内数学界最有影响力的人。对我们这一代中国人来说,他那本被译成《啊哈,灵机一动!》的书很有影响力,相信不少人都读过。让人吃惊的是,在数学界如此有影响力的嘉德纳竟然不是数学家,他甚至没有修过任何一门大学数学课。他只有本科学历,而且是哲学专业。他从小喜欢趣味数学,喜欢魔术。读大学时本来是想到加州理工去学物理,但听说要先上两年预科,于是决定先到芝加哥大学读两年再说。没想到一去就迷上了哲学,一口气读了四年,拿了个哲学学士。这段读书经历似乎和顾森有些相似之处。 当然,也有很多职业的数学家,他们在学术生涯里也不断为数学的传播做出巨大努力。比如英国华威大学(University of Warwick) 的Ian Stewart,他是著名数学教育家,一直致力于推动数学知识走通俗易懂的道路。他编著的书籍深受广大读者喜爱,包括《上帝掷骰子吗?》、《更平坦之地》、《给青年数学家的信》、《如何切蛋糕》、《数学万花筒》等。由于在科学推广方面做出了巨大贡献,他2001 年被选为皇家学会院士(FRS),1995 年被授予英国皇家学会法拉第奖章,1997 年被邀请在英国皇家学院圣诞讲座(Royal Institution ChristmasLectures)上做数学之美的演讲。英国皇家学院圣诞讲座是每年一度面向公众,特别是年青人的科普讲座。自从1825 年由法拉第开设以来,除1939-1942 因二战暂停以外,从未中断,一直延续到今天。法拉第本人讲了19 次,根据他的讲稿汇编出版了《蜡烛的故事》一书,被译为多种文字,是科普读物的典范。由于法拉第的原因,这个每年一度的科普讲座的演讲者大多是实验科学家,他们更容易用深入浅出的方法向年轻人展示科学之美。在Ian Stewart 之前,很少有数学家能够被皇家学院邀请到这一法拉第讲坛上。在他之后,牛津大学的Marcus du Sautoy 再次在圣诞讲座上讲演了素数和音乐这一美丽的话题。 回到顾森的这本书上,书的很多章节题目都很吸引人,比如“数学之美”、“几何的大厦”、“精妙的证明”。书的特点就是将抽象、枯燥的数学知识,通过创造情景深入浅出地展现出来,让读者在愉悦中学习数学。比如其中的一些小节“概率论教你说谎”、“找东西背后的概率问题”、“统计数据的陷阱”、“定宽曲线与蒲丰投针试验”、“利用赌博求解数学问题”,就是利用一些趣味性的话题,一方面可以轻松地消除读者对数学的畏惧感,另一方面又可以把概率和统计的原始思想糅合在这些小段子里。 数学是美丽的。对此有切身体会的陈省身先生在南开的时候曾亲自设计了“数学美”的挂历,其中12幅画页分别为复数、正多面体、刘徽与祖冲之、圆周率的计算、数学家高斯、圆锥曲线、双螺旋线、国际数学家大会、计算机的发展、分形、麦克斯韦方程和中国剩余定理。这是陈先生心目中的数学之美。我的好朋友刘建亚教授有句名言:“欣赏美女需要一定的视力基础;欣赏数学美需要一定的数学基础。”此书的第二部分“数学之美”通过游戏、图形、数列,就是让有简单数学基础的读者朋友们也会领略到数学之美。 我发现顾森的博客里谈了很多作图问题,这和网上大部分数学博客不同。作图是数学里一个很有意思的部分,历史上有很多相关的难题和故事(最著名的可能是高斯19 岁时仅用尺规构造出了正17 边形的故事)。本书的第三部分专门讲了“尺规作图问题”、“单规作图的力量”、“火柴棒搭成的几何世界”、“折纸的学问”、“探索图形剪拼”等,愿意动动手的数学爱好者绝对会感到兴奋。对于作图的乐趣和意义,我想在此引用本人在新浪微博上的一个小段子加以阐述: 学生:“咱家有的是钱,画图仪都买得起,为啥作图只能用直尺和圆规,有时只让用其中的一个?” 老师:“上世纪有个中国将军观看学生篮球赛。比赛很激烈,将军却慷慨地说:娃们这么多人抢一个球?发给他们每人一个球开心地玩。” 数学文化微博评论:生活中更有意思的是战胜困难和挑战所赢得的快乐和满足。 书的最后一部分叫做“思维的尺度”,有些题目像“俄罗斯方块可以永无止境地玩下去吗?”、“比无穷更大的无穷”、“无以言表的大数”、“不同维度的对话”——看起来就很有意思,作者试图通过一个个有趣的话题使读者享受数学概念间的联系、享受数学的思维方式。陈省身先生临终前不久曾为数学爱好者题词:“数学好玩”,事实上顾森的每篇文章都在向读者展示数学确实好玩。数学好玩这个命题不仅对懂得数学奥妙的数学大师成立,对于广大数学爱好者一样成立。 见过他本人或看过他的相片的一定会同意顾森是一个美男子,有阳刚之气。很高兴看到这个英俊才子对数学如此热爱。在太平洋彼岸有个美女演员麦克拉(Danica McKellar),她因电视剧《奇迹年代》而出名,出演过《生活大爆炸》等。毕业于加州洛杉矶大学数学系的麦克拉念书期间的一个研究工作被称为Chayes-McKellar-Winn 定理;她还写畅销的数学科普书,书名很诱人,如《数学并非没劲》(Math Doesn’t Suck)、《亲吻数学》(Kiss My Math)。她有三本书曾经荣登《纽约时报》的畅销书榜。我期待顾森的书在不久的将来会成为畅销书;也期待他有一天会成为像马丁• 嘉德纳那样的趣味数学大师。 汤涛 《数学文化》期刊联合主编 香港浸会大学数学讲座教授 2012.3.5

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好书推荐-《思考的乐趣:matrix67数学笔记》

June 3, 2012

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本书是一个疯狂数学爱好者的数学笔记,面向所有喜爱数学的读者。从2005年7月开始,作者已经写了连续六年的博客,积累下来了大量的数学文章。 部分文章内容被广泛关注,在网络上大量分享转载。 这本书有意挑选了初等的话题,让大大小小的读者都能没有障碍地阅读。文章内容新,让有数学背景的人也会发现很多自己没见过的初等问题。 文章是独立的。一篇文章一个话题,文章与文章之间基本不会做参考,读者可以随意跳着看。 文章内容注重思想性,基本上是原创,没有什么版权争议。 总之,这是一本标新立异的趣味数学书。每一个读过的人都会被深深吸引。这是一个热爱思考的年轻人积攒的让人一读就欲罢不能的趣味书。 本书包括5部分内容,即生活中的数学、数学之美、几何的大厦、精妙的证明、思维的尺度,涉及48篇精彩的文章。即使你不喜欢数学,也会为本书的精彩所倾倒。 关于本书的最新消息,请参阅 http://www.ituring.com.cn/book/890

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